\def\coth{\mbox{coth}} \def\sin{\mbox{sin}} \def\cos{\mbox{cos}} \setcounter{page}{9} \chapter{S{\'e}ries enti{\`e}res {\`a} une variable} \section{S{\'e}ries enti{\`e}res formelles} \subsection{Alg{\`e}bre des polyn{\^o}mes} Soit $K$ un corps commutatif. On consid{\`e}re les polyn{\^o}mes formels {\`a} une lettre (ou << ind{\'e}termin{\'e}e >>) $X$ {\`a} coefficients dans $K$ (pour le moment il n'est pas question de donner de valeur {\`a} $X$). L'addition de deux polyn{\^o}mes, la multiplication d'un polyn{\^o}me par un << scalaire >> (c'est-{\`a}-dire par un {\'e}l{\'e}ment de $K$) font de l'ensemble $K[X]$ des polyn{\^o}mes un \emph{espace vectoriel} sur $K$, ayant la base infinie $$1,\ X,\ \dots,\ X^n,\ \dots .$$ Chaque polyn{\^o}me est une combinaison lin{\'e}aire finie des $X^n$ {\`a} coefficients dans $K$, qu'on {\'e}crit $\displaystyle\sum_{n\ge 0} a_n X^n$, {\'e}tant entendu que, dans la suite illimit{\'e}e des coefficients $a_n$, tous sont nuls sauf un nom\-bre fini. La table de multiplication $$X^p \,\point\, X^q = X^{p+q}$$ d{\'e}finit une multiplication dans $K[X]$ ; le produit $$\Biggl(\sum_p a_p X^p\Biggr)\point\Biggl(\sum_q b_q X^q\Biggr)$$ est $\displaystyle\sum_n c_n X^n$, o{\`u} \begin{equation} \label{eq:1} c_n=\sum_{p+q=n} a_pb_q. \end{equation} Cette multiplication est commutative et associative. Elle est bilin{\'e}aire, en ce sens que \begin{equation} \label{eq:2}% \left\{% \begin{array}{rcl} (P_1+P_2) \,\point\, Q&=&P_1Q+P_2Q\\ (\lambda P) \,\point\, Q& =& \lambda \,\point\, (PQ) \end{array}\right. \end{equation} \section*{\ifx\undefined\Tfont\else\fontfamily\Tfont\selectfont\fi Quelques r{\'e}ponses num{\'e}riques ou quantitatives}\markboth {Quelques r{\'e}ponses num{\'e}riques ou quantitatives}% {Quelques r{\'e}ponses num{\'e}riques ou quantitatives} \noindent{\sc Chapitre I} \begin{itemize} \item[3.] $P_2=a_2b_1^2,\ P_3=2a_2b_1b_2+a_3 b_1^3,$\\ $P_4=a_2 (2b_1b_3+b_2^2) + 3a_2 b_1^2 b_2+a_4b_1^4,$\\ $P_5=2a_2(b_1b_4+b_2b_3)+3a_3(b_1^2b_3+b_1 b_2^2)+4a_4b_1^2b_2+a_5b_1^5.$\\[1ex] $X+\frac13 X^3+\frac2{15}X^5+\cdots$ \item[4.] \emph{a)} infini, \emph{b)} 1, \emph{c)} $\displaystyle\mathrm{inf}(\frac1a,\frac1b).$ \item[6.] 1. \item[14.] (ii) $n\pi /a,$ $n$ entier. \end{itemize} \noindent{\sc Chapitre III}\setcounter{page}{226}% \def\sh{\mathrm{sh}}\def\ch{\mathrm{ch}}\def\ctg{\mathrm{ctg}} \begin{itemize} \item[17.]% \begin{itemize}% \item [(i)] $\displaystyle x=\frac{2\; \mathrm{Re}(z)}{1+|z|^2},$ $\displaystyle y=\frac{2\;\mathrm{Im}(z)}{1+|z|^2},$ $\displaystyle z=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1}.$ \end{itemize} \item[20.]% \begin{itemize}% \item [(i)] $(\pi (2n-2)!)/(2^{n-1}[(n-1)!]^2a^{n-1/2}b^{1/2}),$ \item[(ii)] $\pi (b-a),$ \item[(iii)] $\pi (e^{-a}-1/2),$ \item[(iv)] $\pi a^n/(1-a^2)\ \mbox{ si }\ |a|< 1,\quad \pi /a^n(a^2-1)\ \mbox{ si }\ |a|> 1.$ \end{itemize} \item[23.]% \begin{itemize}% \item [(ii)] $\pi /(n\sin (\alpha +1)\pi /n).$ \end{itemize} \item[25.]% \begin{itemize}% \item [(i)]% $\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac1{a+bn^2}=\frac12\left(\frac\pi{\sqrt{ab}}\coth\pi\sqrt{\frac ab}-\frac1a\right),$\\ $\displaystyle\sum_{n\ge1}\frac{n^2}{n^4+a^4}=\frac\pi{2\sqrt2a}\frac {\sh\pi a\sqrt2-\sin\pi a \sqrt2}{\ch\pi a\sqrt2-\cos\pi a \sqrt2},$ \item [(ii)]% $\displaystyle\sum_{p\ge1}\frac1{x^2-p^2}=\frac1{2x}\left(\pi\ctg \pi x -\frac1x\right).$ \end{itemize} \end{itemize} \noindent{\sc Chapitre V}% \begin{itemize} \item[8.]\hfil$(-1)^n/n!$ \item[9.]\hfil$a_6=a_2^2/3,\quad a_8=3a_2a_4/11.$ \end{itemize} \noindent{\sc Chapitre VI}% \begin{itemize} \item[7.] $w=rz/\sqrt{a^2z^2+r^4-a^4}$ avec la d{\'e}termination du radical qui est r{\'e}elle positive pour $z$ r{\'e}el. \end{itemize} \endinput % Local Variables: % mode: latex % TeX-master: "cart-nb9-mep.tex" % End: